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2.4 Espacio de estados. Relación entre función de transferencia y espacio de estados

En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida comoaproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con $p$ entradas y $q$ salidas, tendríamos que escribir $q \times p$ veces la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitada a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de $n$ dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

Sistemas lineales

Una forma general de representación de espacios de estado de un sistema lineal con $p$ entradas, $q$ salidas y $n$ variables de estado se escribe de la siguiente forma:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

donde

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ ; $y(t) \in \mathbb{R}^q$ ; $u(t) \in \mathbb{R}^p$ ;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$ ,

$\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$ ,

$\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$ ,

$\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$ ,

$\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$ .

$x(\cdot)$ es llamado vector de estados, $y(\cdot)$ es llamado vector de salida, $u(\cdot)$ es llamado vector de entradas (o control), $A(\cdot)$ es la matriz de estados, $B(\cdot)$ es la matriz de entrada, $C(\cdot)$ es la matriz de salida, y $D(\cdot)$ es la matriz de transmisión directa. Por simplicidad, $D(\cdot)$ normalmente se toma como la matriz cero, p. ej.: se elige que el sistema no tenga transmisión. Nótese que en esta formulación general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p. ej.: algunos o todos sus elementos pueden depender del tiempo. La variable temporal $t$ puede ser una "continua" (p. ej.: $t \in \mathbb{R}$ ) o una discreta (p. ej.: $t \in \mathbb{Z}$ ): en éste último caso la variable temporal es generalmente indicada como $k$ . Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representación del modelo de espacios de estado puede tomar las siguientes formas:

Tipo de sistema	Modelo de espacio de estados
continuo e invariante en el tiempo	$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$
continuo y variante en el tiempo	$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)$
Discreto e invariante en el tiempo	$\mathbf{x}(k+1) = A \mathbf{x}(k) + B \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = C \mathbf{x}(k) + D \mathbf{u}(k)$
Discreto y variante en el tiempo	$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}(k) \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{D}(k) \mathbf{u}(k)$
Transformada de Laplace de continua e invariante en el tiempo	$s \mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$ $\mathbf{Y}(s) = C \mathbf{X}(s) + D \mathbf{U}(s)$
Transformada Z de discreta e invariante en el tiempo	$z \mathbf{X}(z) = A \mathbf{X}(z) + B \mathbf{U}(z)$ $\mathbf{Y}(z) = C \mathbf{X}(z) + D \mathbf{U}(z)$

La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema puede ser estudiado mediante los autovalores (o valores propios) de la matriz $A$ . La estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser fácilmente determinado observando la función transferencia del sistema en forma factorizada. Tendría un forma parecida a la siguiente:

$\textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3}) }{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4}) }$

El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico encontrado tomando el determinante de $sI - A$ ,

$\mathbf{\lambda}(s) = |sI - A|$ .

Las raíces de este polinomio (los autovalores) proporcionan los polos en la función transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema es asintótica o marginalmente estable. Otra alternativa para determinar la estabilidad, en la cual no involucra los cálculos de los autovalores, es analizar la estabilidad de Liapunov del sistema. Los ceros encontrados en el numerador de $\textbf{G}(s)$ puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mínima.

El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aún si es internamente inestable. Este podría ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros.

Controlabilidad

La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es controlable si y sólo si

$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}B& AB& A^{2}B& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

Observabilidad

La observabilidad es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observadlidad y la controlabilidad son matemáticamente duales.

Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es observable si y sólo si:

$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

(el rango de una matriz es el numero de filas linealmente independientes.)

Función de transferencia

La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace de

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

tenemos que

$s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$

Luego, agrupamos y despejamos $\mathbf{X}(s)$ , dando

$(s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)$

esto es sustituido por $\mathbf{X}(s)$ en la ecuación de salida

$\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)$ , nos queda

$\mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)) + D\mathbf{U}(s)$

Como la función de transferencia está definida como la tasa de salida sobre la entrada de un sistema, tomamos

$\mathbf{G}(s) = \mathbf{Y}(s) / \mathbf{U}(s)$

y sustituimos las expresiones previas por $\mathbf{Y}(s)$ con respecto a $\mathbf{U}(s)$ , quedando

$\mathbf{G}(s) = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D$

Claramente $\mathbf{G}(s)$ debe tener $q$ por $p$ dimensiones, así como un total de $qp$ elementos. Entonces para cada entrada hay $q$ funciones de transferencias con uno por cada salida. Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser la elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output).

Formas canónicas

Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio de estados con la siguiente aproximación:

Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:

$\textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}$ .

Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados mediante la siguiente aproximación:

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& -d_{2}& -d_{3}& -d_{4}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{1}& n_{2}& n_{3}& n_{4} \end{bmatrix}\textbf{x}(t)$ .

Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es controlable, entonces no es posible expresarlo en esta forma canónica.

Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo de forma canónica

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& 1& 0& 0\\ -d_{2}& 0& 1& 0\\ -d_{3}& 0& 0& 1\\ -d_{4}& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3}\\ n_{4} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t)$ .

Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no observable no puede ponerse en esta forma.

Funciones transferencia propia

Las funciones transferencia que son sólo propias (y no estrictamente propias) pueden también transformadas a las formas canónicas. El artificio utilizado es el de separar la función transferencia en dos partes, una estrictamente propia y una constante.

$\textbf{G}(s) = \textbf{G}_{ExPr}(s) + \textbf{G}(\infty)$

La función transferencia estrictamente propia puede ser ahora transformada a las representaciones de espacio de estados canónicas utilizando las técnicas mostradas anteriormente. La representación de espacio de estados de la constante es trivial.

$\textbf{y}(t) = \textbf{G}(\infty)\textbf{u}(t)$

Juntando ambos términos obtenemos las representaciones de espacio de estados con las matrices A, B y C determinadas por la parte estrictamente propia y la matriz D determinada por la constante.

Aquí un ejemplo para aclarar:

$\textbf{G}(s) = \frac{s^{2} + 3s + 3}{s^{2} + 2s + 1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 1} + 1$

lo que conduce a la siguiente representación controlable

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -2& -1\\ 1& 0\\ \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 2\end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

Nótese como la salida depende directamente de la entrada. Esto se debe a la constante $\textbf{G}(\infty)$ en la función transferencia.

Realimentación

Un método utilizado para realimentar es el de multiplicar la salida por una matriz K y colocar el resultado como la entrada del sistema: $\mathbf{u}(t) = K \mathbf{y}(t)$ . Como los valores de K no están restrigidos y pueden cambiarse de signo para la realimentación negativa. La presencia de un signo negativo (la notación común) es únicamente con fines de notación y su ausencia no afecta los resultados.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$

resulta en

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B K \mathbf{y}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D K \mathbf{y}(t)$

resolviendo la ecuación de salida para $\mathbf{y}(t)$ y sustituyendo en la ecuación de estados resulta en

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \left(I - D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t)$

La ventaja de esto es que los valores propios de A pueden ser controlados eligiendo K apropiadamente mediante la descomposición en sus valores propios de $\left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right)$ . Esto asume que el sistema de lazo abierto es controlable o que los valores propios inestables de A pueden estabilizarse mediante la elección apropiada de K.

Ua simplificación común de este sistema es eliminar D y elegir C igual a la unidad, lo que reduce las ecuaciones a

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t)$

Esto reduce la descomposición de los valores propios a sólo $A + B K$ .

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martes, 17 de marzo de 2015